Question

δ函数积分为什么等于1

Answer 1

这个函数在黎曼积分意义下是不可积的，在勒贝格积分意义下积分等于1，后者积分是对函数值分区间乘以对应积分变量的测度取极限而得到的，由于取值1的无理数集的测度等于1。由此积分为1。

这是约定的 “规定”冲击函数δ(t)，就是在t=0时的值为无穷大，t≠0时值为零的函数。无穷大，既不能用数字表达，又不能用于求积分的计算，于是约定积分是1，积分∫δ(t)dt=1。

函数地位

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。