Question

证明：（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+

证明：（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 13．

Answer 1

证明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正实数，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤3（a²+b²+c²），∴a²+b²+c²≥

1

3

，当且仅当a=b=c 时，等号成立．