Question

如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）

如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO?tan30°=

3

，此时t=4+

3

；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3

3

，
此时，t=4+3

3

，
∴t的值为4+

3

或4+3

3

；

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，

从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，

∴点A为切点，如图4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．

Answer 2

（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO?tan30°=

3

，此时t=4+

3

；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3

3

，
此时，t=4+3

3

，
∴t的值为4+

3

或4+3

3

；

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，

从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；

③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，

∴点A为切点，如图4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．