Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f

已知函数f（x）=ax+x2-xlna，（a＞1）．（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）对?x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤e-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）证明：求导函数，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值1	递增

因为函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以f（x）=t±1共有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）
（Ⅲ）解：问题等价于f（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中较大的一个，
f(?1)＝

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，f(1)?f(?1)＝a?

1

a

?2lna，
记g(x)＝x?

1

x

?2lnx，（x≥1），则g′(x)＝1+

1

x2

?

2

x

＝(

1

x

?1)2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g(x)＝x?

1

x

?2lnx是增函数，
∴当a＞1时，g(a)＝a?

1

a

?2lna＞g(1)＝0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna，
故对?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
当x≥1时，(x?lnx)′＝

x?1

x

≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）单调递增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．