Question

设z=f(X+Y-Z)求二阶偏导

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

如何求z=f(X+Y-Z)的二阶偏导数？

该题型属于多变量函数求导问题，求解方法，令u=X+Y-Z，再使用链式法则对每个变量分别求导。求解过程如下：

Answer 3

这属于隐函数求导问题。
法 1 ：z = f(x+y-z), 两边分别对 x 求偏导， 得
∂z/∂x = f' · (1-∂z/∂x), ∂z/∂x = f'/(1+f'), 同理得∂z/∂y = f'/(1+f')。
为求二阶导方便，先化为 ∂z/∂x = 1-1/(1+f') = ∂z/∂y
∂^2z/∂x^2 = f''· (1-∂z/∂x)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2
= f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2
∂^2z/∂x∂y = f''· (1-∂z/∂y)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2 = f''/(1+f')^3.
法 2 ：记 F = z - f(x+y-z)， Fx = -f', Fy = -f', Fz = 1+f',
∂z/∂x = -Fx/Fz = f'/(1+f') = ∂z/∂y
按法1同样方法可求二阶导数 ∂^2z/∂x^2 = f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂x∂y。

Answer 4

z=f(x+y-z),
dz=f'(x+y-z)(dx+dy-dz),
[1+f'(x+y-z)]dz=f'(x+y-a)dx+f'(x+y-z)dy,
所以∂z/∂x=f'(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]=∂z/∂y,
∂^z/∂x^={f''(x+y-z)[1+f'(x+y-z)]-f''(x+y-z)*f'(x+y-z)]/[1+f'(x+y-z)]^2
=f''(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]^2=∂^z/∂y^=∂^z/(∂x∂y).