设z=f(X+Y-Z)求二阶偏导
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方法如下，
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杭州彩谱科技有限公司
2020-07-03 广告
测色仪L、a、b、c、h的意思，L代表明暗度（黑白），a代表红绿色，b代表黄蓝色，c表示彩度（色彩饱和的程度或纯粹度），h表示色调角。测色仪，广泛应用于塑胶、印刷、油漆油墨、纺织、印染服装等行业的颜色管理领域，根据CIE色空间的Lab，Lc...
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如何求z=f(X+Y-Z)的二阶偏导数？
该题型属于多变量函数求导问题，求解方法，令u=X+Y-Z，再使用链式法则对每个变量分别求导。求解过程如下：
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这属于隐函数求导问题。
法 1 ：z = f(x+y-z), 两边分别对 x 求偏导， 得
∂z/∂x = f' · (1-∂z/∂x), ∂z/∂x = f'/(1+f'), 同理得∂z/∂y = f'/(1+f')。
为求二阶导方便，先化为 ∂z/∂x = 1-1/(1+f') = ∂z/∂y
∂^2z/∂x^2 = f''· (1-∂z/∂x)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2
= f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2
∂^2z/∂x∂y = f''· (1-∂z/∂y)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2 = f''/(1+f')^3.
法 2 ：记 F = z - f(x+y-z)， Fx = -f', Fy = -f', Fz = 1+f',
∂z/∂x = -Fx/Fz = f'/(1+f') = ∂z/∂y
按法1同样方法可求二阶导数 ∂^2z/∂x^2 = f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂x∂y。
法 1 ：z = f(x+y-z), 两边分别对 x 求偏导， 得
∂z/∂x = f' · (1-∂z/∂x), ∂z/∂x = f'/(1+f'), 同理得∂z/∂y = f'/(1+f')。
为求二阶导方便，先化为 ∂z/∂x = 1-1/(1+f') = ∂z/∂y
∂^2z/∂x^2 = f''· (1-∂z/∂x)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2
= f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2
∂^2z/∂x∂y = f''· (1-∂z/∂y)/(1+f')^2 = f''· [1-f'/(1+f')]/(1+f')^2 = f''/(1+f')^3.
法 2 ：记 F = z - f(x+y-z)， Fx = -f', Fy = -f', Fz = 1+f',
∂z/∂x = -Fx/Fz = f'/(1+f') = ∂z/∂y
按法1同样方法可求二阶导数 ∂^2z/∂x^2 = f''/(1+f')^3 = ∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂x∂y。
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z=f(x+y-z),
dz=f'(x+y-z)(dx+dy-dz),
[1+f'(x+y-z)]dz=f'(x+y-a)dx+f'(x+y-z)dy,
所以∂z/∂x=f'(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]=∂z/∂y,
∂^z/∂x^={f''(x+y-z)[1+f'(x+y-z)]-f''(x+y-z)*f'(x+y-z)]/[1+f'(x+y-z)]^2
=f''(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]^2=∂^z/∂y^=∂^z/(∂x∂y).
dz=f'(x+y-z)(dx+dy-dz),
[1+f'(x+y-z)]dz=f'(x+y-a)dx+f'(x+y-z)dy,
所以∂z/∂x=f'(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]=∂z/∂y,
∂^z/∂x^={f''(x+y-z)[1+f'(x+y-z)]-f''(x+y-z)*f'(x+y-z)]/[1+f'(x+y-z)]^2
=f''(x+y-z)/[1+f'(x+y-z)]^2=∂^z/∂y^=∂^z/(∂x∂y).
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