Question

高二选修2-1数学问题求解答，各位大神速来接答

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为多少？
PA、PB、PC两两相互垂直什么意思？

Answer 1

设三条侧棱长分别为a,b,c
则：ab=2S1，ac=2S2，bc=2S3
注意：三条侧棱两两垂直的三棱锥可以看成是长方体的一个角
该长方体的长宽高就是三棱锥的三条侧棱，分别为a,b,c；
所以，易得三棱锥的体积为abc/6
ab*ac*bc=8S1*S2*S3
所以，abc=2√(2S1S2S3)
所以，三棱锥的体积为abc/6=[√(2S1S2S3)]/3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

设三棱锥的三个侧棱分别为 a、b、c ，
则有 S1=ab/2 ，S2=bc/2 ，S3=ca/2 ，
三棱锥的体积 = abc/6 = (1/3)√(2·S1·S2·S3)
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参考：
令三棱锥的三棱分别为a，b，c
则S1=1/2ab，S2=1/2bc，S3=1/2ca
S2*S3/S1 = 1/2ca * 1/2bc / (1/2ab) = 1/2c^2
c = √(2S2*S3/S1)
令以S1为底，则新三棱锥的高为c
体积V = 1/3S1*c = 1/3*S1* √(2S2*S3/S1) = 1/3 √(2S1S2S3)

Answer 3

设三条侧棱长分别为PA=a，PB=b，PC=c,
则其体积为V=(abc)/3,
又因为其侧面积 S1=ab/2,S2=ac/2,S3=bc/2;
所以S1S2S3=a2b2c2/8,可以得到abc=（8S1S2S2)1/2,从而得到V来