Question

小波变换中的一些问题！求大神指点

1、网上有很多小波讲解，在介绍小波多分辨率分析时都几乎都讲到了“在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列”。请问这个空间的嵌套包含关系具体是指什么的包含关系？是频率的包含关系么？
2、用小波级数的线性组合表示的待分析函数与用尺度函数和小波函数共同表示这个待分析函数的完整展开形式是怎样的关系？

Answer 1

这两个问题主要涉及到泛函分析的知识，

1. 空间的嵌套包含关系并不仅仅是与频率有关，因为空间这个概念的提出并没有与频率有啥关系，也就是空间概念起初只是数学问题，并没有从信号处理的观点出发。是由于线性代数的某些概念已经无法或不适合描述某些数学运算的时候，才提出了泛函空间的概念。后来当小波变换的某些研究涉及到的问题刚好适合用空间的概念来描述，而小波变换很多应用都在信号处理方面所以才和频率挂钩了。嵌套包含的关系只有你学习泛函之后才可能会有些理解，或者仍然不能理解，这有时是只能意会不可言表的，不能仅从频率的角度简单的理解。
   

2. 用小波级数的线性组合表示的待分析函数是与傅立叶变换用傅立叶级数表示待分析函数的思想一样，只是一个用正余弦函数一个用小波函数罢了，都是想用规则的，易于分析的，易于掌握的函数有限的去描述、逼近和替代待分析的无限函数，这是傅式分析的内容，是有限离散系统描述无限连续系统的基本问题，也是吉布斯效应产生的实质。

3. 用尺度函数和小波函数共同表示这个待分析函数的完整展开形式是小波分析应用到DWT使用mallat算法后的问题，它实质上就是在DWT中如何用小波级数的线性组合表示的待分析函数的问题。只是一个概念宽泛一个概念比较具体和有针对性而已。

   对于空间、尺度函数和小波函数从抽象概念到实际操作的问题，可以参看网上《小波变换和motion信号处理》系列文章，还可以参考科学出版社《非连续正交函数－U系统、V系统、多小波及其应用》一书对整个非连续正交函数方面应用的前世今生的解读，可能对你理解以上问题会很有帮助。不过这对你研究小波的用处并不大，这种基础概念的理解虽然重要，但当今小波的研究已经远远超过了这些基础问题的研究，而已经走上了多学科综合研究的道路。水平有限，仅供参考。