Question

若a,b,c是三角形的三边长，且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca试判断此三角形形状并说明原因

麻烦给我解释得详细一点！本来这道题是有人提问过的，但是因为看不懂，所以再问一遍！

Answer 1

因为a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
所以2（a^2+b^2+c^2）=2（ab+bc+ca）
所以a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2＝2ab+2bc+2ca
所以(a^2－2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
所以(a-b）^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
所以a=b=c,
所以这个三角形是等边三角形。

Answer 2

a²+b²+c²=ab+bc+ca

两边同乘2
2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca

移项
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
看到平方和2倍关系，立即想到完全平方公式
把2a²+2b²+2c² 拆开写成a²+b²+c²+a²+b²+c²再移一下
a²-2bc+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²=0
那么就有
(a-b)²+（b-c）²+（a-c）²=0
因为相加等于0 又因为平方下的数大于等于0所以(a-b)²=（b-c）²=（a-c）²=0

所以a-b，b-c，a-c 等于0
可知a=b=c
所以为等边三角形
懂了吗？

Answer 3

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b
b=c
c=a
三角形是等边三角形