Question

3数学 求曲线r=3cosx,r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积

Answer 1

面积为2 + 7π/4。

求解过程如下：

因为r = 3cosθ，r = 1 + cosθ

所以3cosθ = 1 + cosθ

cosθ = 1/2

θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3

交点为(3/2，π/3)和(3/2，5π/3)

所以阴影面积：

= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ]

= (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ

= (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2)

= (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))]

= 2 + 7π/4

即曲线r=3cosx，r=1+cosx所围平面图形公共部分的面积为2 + 7π/4。

扩展资料：

求多条曲线围成的面积的步骤：

1、根据曲线方程，在坐标系中绘制两条曲线；

2、求出两条曲线的交点坐标，得到相交所得面积的变量取值范围；

3、列出求面积的定积分式子，该定积分式子的被积函数由两曲线方程相减得到；

4、解出定积分式子，解出的值即为两条曲线相交围成的面积大小。

Answer 2

曲线r=3cosx,r=1+cosx,是极坐标的形式，其中r=1+cosx是心形线，r=3cosx，是过（0,0），（3,0）的曲线（类似圆），在（0，0）点的切线恰为x=0.用特殊点画图，可得当x=+-pie/3时曲线相交。由极坐标曲面面积积分公式S=∫(α,β)[(r(x))^2]/2 dx得：公共面积S=2∫（0，pie/3）[(1+cosx)^2]/2 dx+2∫（pie/3,pie/2）[(3cosx)^2]/2 dx=(3x/2+2sinx+sin2x/4)|(0,pie/3)+9(x/2+sin2x/2)|(pie/3,pie/2)=pie/2+1+1/8+9*1/8=5pie/4.

追问

书上的答案为什么会是这样的呢？

追答

就是这个样子的啊，我画的图也是这个样子，只求x轴上方的面积然后乘二，上面的阴影分两部分，就是图中斜线分割成的两部分，第一个部分是0-pie/3,第二部分是pie/3-pie/2,套公式就行了……

追问

这个图，我不理解，也就画不出来了，这个图中的坐标为什么没有y轴呀？

追答

y轴没画出来，原点就是O点，答案就是5pie/4,我做过原题的

Answer 3

是在一个周期里求吗？你把x的取值范围写清楚如果是在一个区间用积分方法，上下限是三分之一π和三分之5π，被积函数是1-2cosx

追问

书上的原题就是这样呀，呜呜！怎么办呢？

Answer 4

你这个有点难表示，因为cosx是周期函数
需要指明求哪个区间的面积，不然会重复出现很多个同样的面积。面积不就是无限大吗？
那莪只做- π 到 2π的部分了
解3cosx = 1 + cosx
x = - π/3，π/3，5π/3
在x∈[- π/3，π/3]围成的面积，3cosx > 1 + cosx
= ∫(- π/3→π/3) [3cosx - (1 + cosx)] dx
= 2√3 - 2π/3
在x∈[π/3，5π/3]围成的面积，1 + cosx > 3cosx
= ∫(π/3→5π/3) [(1 + cosx) - 3cosx] dx
= 2√3 + 4π/3

所以公共部分的面积
= n * [(2√3 - 2π/3) + (2√3 + 4π/3)]，n∈整数
= n * (4√3 + 2π/3)，只好这样表示了，共有n个这样的面积

追问

书上答案为什么会是这样的呢？

追答

原来是极坐标的形式，开始真没看清楚了。。。
{ r = 3cosθ
{ r = 1 + cosθ
3cosθ = 1 + cosθ
cosθ = 1/2
θ = π/3 或 2π - π/3 = 5π/3
交点为(3/2，π/3)和(3/2，5π/3)
∴阴影面积
= 2[∫(0→π/3) (1/2)(3cosθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(1 + cosθ)² dθ]
= (9/2)∫(0→π/3) (1 + cos2θ) dθ + ∫(π/3→π/2) (1 + 2cosθ + cos²θ) dθ
= (9/2)[θ + sinθcosθ] |(0→π/3) + [θ + 2sinθ + (1/2)(θ + sinθcosθ)] |(π/3→π/2)
= (9/2)[π/3 + (√3/2)(1/2)] + [π/2 + 2 + (1/2)(π/2)] - [π/3 + √3 + (1/2)(π/3 + (√3/2)(1/2))]
= 2 + 7π/4