x/（e^x-1）积分0到正无穷
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∫（0，∞）x/（e^x-1） dx
= ∫（0，∞）（xe^（-x））/（1-e^（-x）） dx
= ∫（0，∞）（xde^（-x））/（e^（-x）-1）
= ∫（0，∞）xdln（1-e^（-x））
= xln（1-e^（-x））|（0，∞）-∫（0，∞）ln（1-e^（-x））dx
=-∫（0，∞）Σ（n=1，∞）（（（-1）^（n-1））/n）（（-e^（-x））^n）dx
=Σ（n=1，∞）（1/n）∫（0，∞）e^（-nx）dx
=Σ（n=1，∞）（1/n）（-1/n）[e^（-nx）]（0，∞）
=Σ（n=1，∞）（1/n^2）
=（π^2）/6
扩展资料：
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。如同上面介绍的，对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a,b]上的积分记作 ∫（a，b）xdx。
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
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