Question

线性代数 为什么(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)B 若B可逆，α1，α2，α3为V的基 则

线性代数
为什么(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)B
若B可逆，α1，α2，α3为V的基
则可以推出 β1，β2，β3线性无关?，从而 β1，β2，β3 也是V的基?
补充:α1，α2，α3为基则α1，α2，α3线性无关

Answer 1

一个矩阵乘上一个可逆矩阵（如果可乘），不改变矩阵的秩。

例如AP（P可逆）的秩就等于A的秩。

可以用下面两种角度来证明
首先r(AP)<=min{r(A),r(P)}，若P是可逆的，所以|P|不等于0，那么r(P)>=r(A)
所以，r(AP)=r(A)
其实这个是一个定理，即当P可逆时，r(AP)=r(A)

另外还可以这样想。
如果P可逆的话，我们可以把
AP看做是做了一组初等列变换，P=P1P2P3....，而初等变换是不改变矩阵的秩，和矩阵行列向量组的线性相关性的。所以当P可逆时，r(AP)=r(A)

有了以上的证明，这题就很显然了。
(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)B ，而B是可逆的，所以r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)

(α1，α2，α3)是基，线性无关，所以r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3

所以β1，β2，β3无关，所以β1，β2，β3也是基

追问

若P是可逆的，所以|P|不等于0，那么r(P)>=r(A)
请问这个怎么理解啊
若A是4*3 P是3*2 r(P)<=r(A)了啊
谢谢了^_^

追答

|P|不等于0，那么P满秩，而A不一定满秩啊。

“若A是4*3 P是3*2 r(P)<=r(A)了啊”

只有方阵才可能可逆，你这个例子首先举的就不对。。

P可逆时，r(AP)=r(A)，这是一个定理。

追问

谢谢了，还有一个问题r(AP)=r(A),怎么就得到r(AP)=r(A)呢?好像条件不够啊，麻烦你了^_^

追答

非常抱歉，这里我写的有点问题。实际上不需要r(AP)<=min{r(A),r(P)}
只要P可逆，就有
r(AP)=r(A)

因为P可逆，那么AP就可以看做是对A做了一系列的列变换(左乘行变换，右乘列变换)，而初等变换是不改变秩的。
所以AP的秩还是A的秩

追问

恩，这样我就理解了，谢谢你啊^_^

追答

不客气~