Question

如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB=8，AP：PB=1:3，求PC的长

不要用相交弦定理，没学

Answer 1

连接OB、OC；做OD⊥PA于D，
由条件可得AP=2，PB=6.
设OB=2X，
⊙O OD⊥AB 弦AB(不用相交弦定理，就是把这个定理推一边，再连接OA，OA=OB,OD⊥AB ,OD=OD 可得三角形BDO全等三角形ADO,同样可得线段长度）
=>DB=AD=4 =>PA=PD=2
OB^2-BD^2=OD^2=>4X^2-16
OP^2=OD^2+PD^2=>4X^2-16+4
PC^2=OC^2-OP^2
=OB^2-OP^2
=4X^2-(4X^2-16+4)
=12
=>PC=2根号3

Answer 2

过O作AB的垂线垂足为D ,设OD=d,OC=OA=r.因为在圆内垂弦平分弦AB=8,所以DA=DB=4.因为AP:PB=1:3,AD=4,AB=8,所以PD=2.因为三角形OPC,三角形OPD,三角形ODA都是直角三角形,OA=OC=r,OD=d,DP=2,DA=4,所以OD^2+PD^2=OP^2,OD^2+AD^2=OA^2,OP^2+PC^2=OC^2.d^2+4=OP^2. d^2+16=r^2. OP^2+PC^2=r^2. 16=4+PC^2 PC=2*3^0.5