Question

概率论方面的问题，数学高手请进！

二维随机变量中，为什么X,Y均服从正态分布推不出(X,Y)服从正态分布？望大神赐教，感激不尽！
上面那个补充是多余的哈！无视它

Answer 1

结论是对的，不能推出，因为如果X和Y是绝对线性相关关系，也就是说Y=aX+b的情况就不能推出了。这时候相关系数是1或-1。在二维正态分布中必须满足IρI＜1，如果IρI=1的话，你看看联合分布密度会出现什么情况，分母为0！所以结论是正确的。

不等可以追问。

追问

谢谢你的回答！那如果相关系数不等于正负1，能够推出(X,Y)服从正态分布吗？为什么

追答

也不能推出，我上面只是给你举了一个很浅显很容易直接看出的例子，这种例子有很多。道理很简单，分量维数比二维的要低，就像你看到一个物体在两面墙上的影子，但是有很多不同物体都能满足有相同两个投影的条件。

参考资料： 原创

追问

谢谢！不过分量维数具体指的是什么？是怎么看的

Answer 2

(X,Y)服从正态分布 推出 两个边缘分布都服从N（0,1），但逆命题不成立，甚至X,Y的相关系数=0也未必逆推过去。
但若是X,Y不相关，即 ρXY=0，并且满足X,Y相互独立，则X,Y的联合分布一定是二维正太分布。

回答完毕。

追问

谢谢你的回答，可是为什么逆命题不成立啊，我主要是想弄清楚这一点

Answer 3

X,Y服从正态分布是可以推出(X,Y)服从二维正态分布的

Answer 4

X,Y服从正态分布是可以推出(X,Y)服从二维正态分布的

追问

可结论好像是不能推出啊，我也不是十分确定，能给出个证明吗？谢谢了

追答

证明就不需要了,随便一本书上应该都会说道这个问题,只要你知道二维正态分布的密度函数,这个结果是显然的

Answer 5

边缘分布和联合分布不是一一对应的。

追问

嗯，感觉很有道理，但是能具体一点吗？谢谢了