Question

已知函数f(x)是定义域在（0，正无穷大）上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1若f(x)-2f(2-x)＜2

求x的取值范围。

Answer 1

2＝1＋1＝f(1/3)+f(1/3)＝f[(1/3)(1/3)]＝f(1/9)
于是　f(x)-2f(2-x)<2　即
　 f(x)-2f(2-x)＜f(1/9)即
f(x)< f(1/9)+2 f(2-x)即f(x)< f[(2-x)²/9] 而f(x)是定义域上的减函数，
故有x<(2-x)²/9
解得　（13-3根号17）/2<x<（13+3根号17）/2 x>1/5
还要满足2-x>0,x>0
综上所述（13-3根号17）/2<x<2就是最后的解

Answer 2

f(1/3)=f(1/3 *1)=f(1/3)+f(1)=1
f(1)=0,f(1/3)=1,2=2f(1/3)=f(1/9)
2f(2-x)=f((2-x)^2)
f(x)<f(1/9)+f((2-x)^2)=f((2-x)^2 /9)
由于是减函数 x>(2-x)^2 /9
解得答案即可