Question

请问高斯函数的积分怎么积啊？（从负无穷到正无穷对e^-at^2）

Answer 1

首先积分只有在a>0时有意义

由于对称性
从负无穷到正无穷对e^-at^2

=2从0到正无穷对e^-at^2
=2∫e^(-at^2)dt

[∫e^(-at^2)dt]^2
=∫e^(-ax^2)dx ∫e^(-ay^2)dy

=∫∫e^(-a(x^2+y^2))dxdy
利用极坐标
x=rcosb,y=rsinb
原积分
=∫[0,2π]db∫[0,+∞]e^(-ar^2)rdr
=(π/a)∫[0,+∞]e^(-ar^2)d(ar^2)
=(π/a)[-e^(-ar^2)]|[0,+∞]
=π/a
所以
∫e^(-at^2)dt=√(π/a)

从负无穷到正无穷对e^-at^2
=2√(π/a)