如果直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0相交与M,N两点,且M,N关于直线x+y=0对称,则k的值为多少?m的值为多少?
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解：因为M，N关于直线x+y=0对称
所以直线x+y=0与MN垂直
又MN的斜率即为y=kx+1的斜率k
所以MN的斜率k与x+y=0的斜率-1互为负倒数
即k=1
故条件变为
直线L:y=x+1
与圆C:x^2+y^2+kx+my-4=0
交得M，N关于x+y=0对称
联立直线L与圆C的方程得2x^2+(3+m)x+(m-3)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
由韦达定理，x1+x2=(-3-m)/2
又由条件，MN中点在直线x+y=0上
即x1+x2+y1+y2=0
又y1=x1+1,y2=x2+1
得x1+x2=-1
结合x1+x2=(-3-m)/2得
m=-1
所以直线x+y=0与MN垂直
又MN的斜率即为y=kx+1的斜率k
所以MN的斜率k与x+y=0的斜率-1互为负倒数
即k=1
故条件变为
直线L:y=x+1
与圆C:x^2+y^2+kx+my-4=0
交得M，N关于x+y=0对称
联立直线L与圆C的方程得2x^2+(3+m)x+(m-3)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2)
由韦达定理，x1+x2=(-3-m)/2
又由条件，MN中点在直线x+y=0上
即x1+x2+y1+y2=0
又y1=x1+1,y2=x2+1
得x1+x2=-1
结合x1+x2=(-3-m)/2得
m=-1
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