Question

在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，且AB=AC=AD

（1 ）① 如图一，若∠BAC=α，BC=CD，求证：∠BDC=1/2α；
②如图二，若∠BAC=α，当BC≠CD时，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
（2 ）如图三，若DC∥AB，BC=1，AB=2，求BD的长。

Answer 1

1）以A为圆心，AB为半径作圆，则C,D在圆A上
∠BDC是弧BC的圆周角，∠BAC是对应的圆心角，圆周角等于圆心角的一半。上述结论仍成立。参见http://baike.baidu.com/view/327893.htm#2
2）接着上题，延长DA交圆A于点E，∠EAB=2∠EDB=2∠ABD=2∠BDC=∠BAC，
所以EB=BC=1（圆心角等，对应弦长相等）
∠EBC=90°（直径所对的圆周角等于90°）

BD=根号（4^2-1^2）=根号15

上述解法很经典啦，几乎没有计算就能看出来。不知道对楼主对圆那块知识掌握怎样，呕心沥血再做一种不依赖圆的方法：
解二：
（1）延长DA到E，使AE=AD，连接EB
易证∠EAC=2∠ADC 1）
∠EAB=2∠ADB 2）
1）-2）得 ∠BAC=2∠BDC

（2） ∠EAB=2∠EDB=2∠ABD=2∠BDC=∠BAC
可以证明三角形EAB≌三角形CAB，所以EB=BC=1，
因为AE=AB=AD，易证∠EBD=90°，根据勾股定理
BD=√（ED^2-EB^2）=√（4^2-1^2）=√15

如有不懂请留言O(∩_∩)O哈！

Answer 2

a+b-c