Question

证明级数的收敛

若级数an（n从1到无穷）收敛，数列bn收敛，证明级数anbn（n从1到无穷）收敛，提示说用柯西收敛准则，但我证不出来……
恩，谢谢，用绝对收敛的我已经做过了，但柯西的我想不出，谢谢你

Answer 1

这题明显少条件，如果bn是单调的就可以了。否则结论不成立。
反例：an＝(－1)^n/n^(1/2)，级数an收敛。
bn＝(－1)^n/n^(1/2)，数列bn收敛于0，但
级数anbn＝级数1/n是发散的。

题目条件等价于级数(bn－b(n－1))是绝对收敛的，这就足够了。
证明得用到Abel分部求和公式：
记a1+...+ak＝Sk，则a1b1+...+akbk
＝Skbk－【S1(b1－b2)+S2(b2－b3)+...+S(k－1)(b(k－1)－bk)】 (*)。
注意到条件能得到Sk有极限，bk有极限，且由于Sk有极限故有界，因此
级数(Sk(bk－b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的，因此(*)式
当k趋于无穷时是有极限的，即级数anbn是收敛的。
ps: 你可以自己用Cauchy收敛原理去证，当然还是得用上面的Abel分部求和。
证明过程类似，不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了。
自己试一下吧。

Answer 2

如果没有恒正条件的话无法判定：
取an=bn=(-1)/n^(1/2)，由Leibnitz判别法知∑an,∑bn收敛，但∑anbn=∑1/n发散；
取an=bn=(-1)/n，则∑an,∑bn,∑anbn都收敛

如果加上条件an,bn恒正的话就都收敛：
∑an收敛说明an有界，设an<M，则anbn<M*bn，∑M*bn=M(∑bn)收敛，所以∑anbn收敛。