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通过f''(x₀)<0来说明x₀是极大值点的思路是对的，但证明方式不够严谨
因为不能以一个特例点f''(1)<0，就说明对所有的x₀>0都满足f''(x₀)<0
∵x₀>0，要证明f''(x₀)<0，等价于证明(1+1/x₀)ln²(1+x₀)<x₀
等价于证明(1+x₀)ln²(1+x₀)<x₀²，等价于证明ln(1+x₀)<x₀/√(1+x₀)
令t=√(1+x₀)>1，等价于证明ln(t²)<(t²-1)/t=t-1/t
再令g(t)=ln(t²)-t+1/t，g'(t)=2/t-1-1/t²=-(1-1/t)²<0，在t>1上递减
所以g(t)<g(1)=ln1-1+1=0，即ln(t²)<t-1/t，原式得证。
因为不能以一个特例点f''(1)<0，就说明对所有的x₀>0都满足f''(x₀)<0
∵x₀>0，要证明f''(x₀)<0，等价于证明(1+1/x₀)ln²(1+x₀)<x₀
等价于证明(1+x₀)ln²(1+x₀)<x₀²，等价于证明ln(1+x₀)<x₀/√(1+x₀)
令t=√(1+x₀)>1，等价于证明ln(t²)<(t²-1)/t=t-1/t
再令g(t)=ln(t²)-t+1/t，g'(t)=2/t-1-1/t²=-(1-1/t)²<0，在t>1上递减
所以g(t)<g(1)=ln1-1+1=0，即ln(t²)<t-1/t，原式得证。
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2025-02-09 广告
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