Question

几何题。

如图，Rt△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F。
1.求证：AC是⊙O的切线。
2.已知∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影面积，【结果保留π】

Answer 1

1，证明：连接OE
因为OE=OB
所以角OBE=角OEB
因为BE平分角ABC
所以角ABE=角CBE
所以角OEB=角CBE
所以OE平行BC
所以角AEO=角ACB
因为角ACB=90度
所以角AEO=90度
所以AC是圆O的切线
2，解：设BE与OF相交于点M
因为角A=30度
角ACB=90度
所以角ABC=60度
因为OB=OF
所以三角形OBF是等边三角形
因为BC=OB=2
角BOF=60度
AC=根号AB^2-BC^2=2倍根号2
BE平分角ABC
所以BE是OF的垂直平分线
所以S三角形OCM=S三角形BMF
S三角形OEF=S三角形OCM+S三角形EMF=S三角形EMF+S三角形BMF
因为AC是圆O的切线
所以角AEO=90度
因为角A=30度
OC=2
所以AO=4
角AOE=60度
AE=4倍根号3/3
所以角EOF=180-60-60=60度
所以S扇形OEF=60*π*2^2/360=2π/3
因为CE=AC-AE=2倍根号3/3
因为S三角形BCE=1/2*CE*BE=2
所以S阴影部分的面积=S三角形BCE-S扇形OEF=2-(2π/3)

Answer 2

连接OE,角OEB=角OBE=角EBF，因为角C是90度，所以交OEC=角CEB+角EBC=90度，即OE垂直于AC,是圆O的切线。
因为角A是30度，所以角B是60度，角EBO为30度，角EOB是120度。可求出扇形OEFB的面积和△OEB的面积，其差是△BEC在圆内的面积与弧FBF的面积之和S。角FOB是60度，可求出扇形OFB的面积和△FOB的面积，其差是弧FBF的面积，与S的差即是△BEC在圆内的面积Q。求出EB，进而求出EC和CB，可求得△BEC的面积P，则图中阴影部分的面积=P-Q

Answer 3

中间省略了几步，写得也有些乱，不过相信你应该看得懂~~