Question

三重积分求体积问题

这两种方法因该怎么计算？脑子卡壳了，这个我会做了，两种表达式代表的积分不同

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Answer 1

你犯错了，伙计z=x²+y² 是旋转抛物面（在yoz面上的抛物线就是z=y²，它绕自己的对称轴旋转一周形成的），不是圆锥面，你按照圆锥体的体积公式计算当然是错误的，实际上你全部计算错了，即使按照圆锥体积公式计算应该是π/3 。你三重积分列出的式子是正确的，但是最后结果你也计算错了。
正确结果是V=π/2

这样的计算体积还有多种方法，比如 用一组平行于底面的平面z=c去截这个旋转抛物面，然后这个平面与这个抛物面相交时形成一个圆x²+y² =c，(0≤C≤1，注意C在此范围内是一个变量，不是常数)它的面积是πc ，于是这个抛物面围城的体积就可以表示为V=∫（0,1）πc d c =π∫（0,1）c d c=π/2