Question

这道高中数学题怎么做?

如图，已知四棱锥 S - ABCD 的底面为等腰梯形， AB // CD , AD = BC =1, SA =2，DC＝√2，AB＝2√2，且 SA垂直平面 ABCD ，则四棱锥 S - ABCD 外接球的体积为

Answer 1

设四棱锥S-ABCD的外接球球心为O,过O作OO1垂直于平面ABC于O1,
因OA=OB=OC=OD,
故O1A=O1B=O1C=O1D,
所以O1是等腰梯形ABCD的外心。
过D作DE平行于BC交AB于E,因AB平行于CD,
故BE=CD=根号2，DE=BC=AD=1,
又AB=2根号2，
所以AE=根号2，∠ADE=90°，∠举中亩DAB=45°，
作射线O1E交正森CD于F,作O1G垂直于AD于G,交AB于H,设O1D=r,
则DF垂直于CD,DF=FC=根号2/2，AG=GD=1/2=GH,EF=DH=根号2/2，
O1E=O1F-EF=根号(r^2-1/2)-根号2/2，
O1H=O1G-HG=根号（r^2-1/4）-1/2,
O1H=根号2*O1E,
所以根号（r^2-1/4）-1/2=根号（2r^2-1）-1,
根号（r^2-1/4）+1/2=根号（2r^2-1）,
平方得 r^2+根号(r^2-1/4)=2r^2-1,
根号(r^2-1/4)=r^2-1,
平方得 r^2-1/4=r^4-2r^2+1,
r^4-3r^2+5/4=0,f^2>1/2,
解得r^2=5/2,
O在SA的垂直平分面上，SA垂直于平面 ABCD，SA=2,
所以OO1=SA/2=1,
于是OD^2=OO1^2+O1D^2=1+5/2=7/2,
OD=根号(7/2),
所以四棱锥 S - ABCD 外接球的体积=（4π/3）OD^3=7π根号14/3.