Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速直线

运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同事停止运动.设点Q运动时间为t秒.
1）求NC、PN的长（用t的代数式表示）
2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
3）当t为何值时，四边形PCDQ构成等腰梯形？
4) 是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由
5）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形
P,Q同时出发 速度都是每秒一个单位长度

Answer 1

QD=t,BP=t
PC=4-t
1)
NC=BC-BN
=4-AQ
=4-(AD-QD)
=4-(3-t)
=1+t
PN=BN-BP
=AQ-BP
=(AD-QD)-t
=3-2t
2)要PCDQ是平行四边形
∵AD∥BC
∴当PC=QD时为平行四边形
而PC=4-t,QD=t
即4-t=t
∴t=2
3）
同理，AD∥BC，当PQ=CD时为等腰梯形
过D作BC的垂线，相交于E
QN=DE，∠PNQ=∠CED=90°
当PN=CE时△PNQ≌△CED，即有PQ=CD
此时，PN=3-2t=CE=BC-AD=1
即3-2t=1
t=1
4）
先考虑面积平分的状态
此时应为俩图形等高，即当
AQ+BN=QD+NC时，面积平分
即(3-t)+(3-t)=t+(4-BN)
6-2t=t+4-3+t
4t=5
t=1.25
此时
ABNQ周长：3+3+3-t+3-t
=12-2*1.25
=9.5
CDQN周长：3+t+[4-(3-t)]+10^0.5
=3+t+4-3+t+10^0.5
=6.5+10^0.5
≠9.5
故不存在这个时间t是两者同时平分
5）要△PMC为等腰
∵MN⊥PC
只要PN=NC
即3-2t=1+t
3t=2
t=2/3
全题得解

Answer 2

动点P，Q的运动速度在哪里？

追问

P,Q同时出发 速度都是每秒一个单位长度