Question

∫∫∑［dS/Z］,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0＜h＜a)截出的顶部z=h(0<h<a)截出的顶部

∫∫∑［dS/Z］,其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0＜h＜a)截出的顶部z=h(0<h<a)截出的顶部
为什么下面的φ(θ)=√a^2-h^2

球面方程写为：z=√(a²-x²-y²)
∂z/∂x=-x/√(a²-x²-y²),∂z/∂y=-y/√(a²-x²-y²)
dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy
=√[a²/(a²-x²-y²)] dxdy
=a/√(a²-x²-y²) dxdy
则∫∫ (1/z) dS
=∫∫ 1/(a²-x²-y²) dxdy
用极坐标
=∫∫ r/(a²-r²) drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr
=2π∫[0→√(a²-h²)] r/(a²-r²) dr
=π∫[0→√(a²-h²)] 1/(a²-r²) d(r²)
=-2πln|a²-r²| [0→√(a²-h²)]
=2π(lna²-lnh²)
=4πln(a/h)

Answer 1

将平面方程z = h代入球面方程就取得横截面方程了

答案在图片上，满意请点采纳，谢谢。

愿您学业进步☆⌒_⌒☆

Answer 2

解答过程详见下图：

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示