Question

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1,2S2,3S3成等差数列，且S4=40/27，求数列{an}的通项公式

Answer 1

由等差数列得，S1+3S3=2×2S2，即a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2)，化简得：a2=3a3=3a2×q，解得：q=1/3,又S4={a1(1-q^n)}/(1-q)=40/27,代入q解得a1=1,故an=(1/3)^(n-1）。

Answer 2

∵{an}是等比数列
∴S1=a1
S2=a1+a1q
S3=a1+a1q+a1q²
∵S1,2S2,3S3成等差数列
∴2(2S2)=S1+3S3
即：4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q²)
∴4+q=1+3+3q+3q²
3q²+2q=0
q(3q+2)=0
q=0或q=-2/3
∵S4=40/27
当q=0时
S4=a1=40/72
∴a1=40/27
an=0
当q=-2/3时
S4=a1+a1q+a1q²+a1q³
=a1(1+q+q²+q³)
=a1(1-2/3+4/9-8/27)
=a1(27/27-18/27+12/27-8/27)
=13/27a1
=40/27
∴a1=40/13
∴an=40/13*(-2/3)^(n-1)

∴当q=0时
an=40/27 n=1
an=0 n>1

当q=-2/3时
an=40/13*(-2/3)^(n-1)

Answer 3

∵S1,2S2,3S3成等差数列
∴2*2S2=S1+3S3
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3)
又∵等比数列{an}
∴4a1+4a1q=a1+3a1+3a1q+3a1q²
即a1q=3a1q²
解得：q=1/3
又∵S4=40/27
∴S4=a1(1-q^4)/(1-q)
=a1*[1-(1/3)^4]/(1-1/3)
=40a1/27
=40/27
∴a1=1
则an=a1q^(n-1)=(1/3)^(n-1)