Question

如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；

Answer 1

解：（1）∵顶点A的横坐标为x=--22=1，且顶点A在y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）．

（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3，
∴y=x2-2x-3，∴B（0，-3）
当y=0时，x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3
∴C（-1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4-3）2+12=2，AD2=（3-1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

（3）存在．
由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．
设P（x1，x1-5），则G（1，x1-5）
则PG=|1-x1|，AG=|5-x1-4|=|1-x1|
PA=BD=32
由勾股定理得：
（1-x1）2+（1-x1）2=18，x12-2x1-8=0，x1=-2或4
∴P（-2，-7）或P（4，-1），
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 2

解：抛物线y＝x^2+2x＋c＝（x＋1）^2＋（c-1）
∴抛物线的顶点坐标是（-1，c-1）
∵抛物线的顶点在直线y＝x-5上
∴当x＝-1时，y＝-6，即顶点坐标是（-1，-6）。
∴c-1＝-6，c＝-5
∴抛物线y＝x^2+2x-5，顶点坐标是（-1，-6）