Question

用数列极限定义证明lim n/2^n=0

Answer 1

具体回答如下：

∑(n:0→∞)〔a的n次方/n〕=e^a

根据级数收敛的必要条件：

lim(n→∞)〔a的n次方/n〕=0

几何意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

对于任意的ε>0
要使|n/2^n|<ε
因为2^n=(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=1+n+[n(n-1)/2]...+C(n,n)≥n(n-1)/2
所以只需证|n/2^n|≤n÷[n(n-1)/2]
=2/(n-1)<ε
即n>（2/ε）+1
取N=【2/ε】+1，则当n>N时，有|n/2^n|<ε
由定义知命题成立！
其中【】表示取整函数，C(n,2)表示n中取2的组合数！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=1+n+[n(n-1)/2]...+C(n,n)≥n(n-1)/2

是什么意思啊？

追答

C(n,0)=1
C(n,1)=n
C(n,2)=n(n-1)/2
C(n,3)=n(n-1)(n-2)/3
。。。
因为每项都大于0，所以C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)≥n(n-1)/2

Answer 3

证明
2^n=(1+1)^n=1+n+n(n-1)/(1*2)+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+......+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+n(n-1)/(1*2)+n+1
所以2^n<n(n-1)/(1*2)+n(n-1)/(1*2)=n(n-1)
即n/2^n<1/(n-1)，
任取ε＞0,使|1/(n-1)-0|<ε
得n＞1/ε+1,
所以取N=1/ε+1（取整函数的符号），当n＞N时，就有绝对值不等式|n/2^n-0|<|1/(n+1)-0|<ε恒成立，也即lim(n/2^n)=0（n→∞)。
当我编辑完之后发现已有大神抢先完成了，但不能白白浪费了我的一片好意！