Question

基础量子物理科普（3）运动和位置不能同时精确测量？

Answer 1

类比位置分布用r做自变量，动量分布自然是用动量p做自变量
按平面波展开得到

其逆变换为

如果入射波是一个波包，每个傅里叶分波都会沿着一定的角度初涉，如果我们能过探测不同方向的衍射波强度分布，就能得到衍射前粒子的动量分布，即一个粒子在 方向被探测到的概率
同理我们的概率应当有归一化，即

假设我们能绝对精确的测量一个运动粒子的动量 ，由之前我们的表达式可以计算其位置分布的波函数应该为

所以在各点的相对概率完全相同（复函数的模不变），因此位置是完全不确定的。

如果精确测量位置呢，那么位置不确定度为0，其波函数为
傅里叶展开可以得到

也就是说动量的相对概率完全相同，因此动量完全无法测量。

刚才考虑了完全精确测量某个量的极限情况，在一般情况下呢，总之经过一波证明可以得出

也就是位置和动量不能同时具有完全确定的值，是波粒二象性矛盾的反应。
不确定性关系可以帮助我们估计物质结构不同层次的特征能力
比如

然后把不同粒子的 带入即可

位置
位置x的平均值十分好求，就是

势能
势能的平均值

动量
对于动量的话，我们知道

是与波长有关的，而波长一定是在某一个长度中才有意义，而不是某一点。因此某一点的动量也是没有意义的。那么我们便不能通过把各点的概率分布和动量分布积分起来来得到平均动量。
为粒子动量在 区间的概率，因此可以借助 来计算动量平均值


其中 是梯度算符。
如果记 ，为动乱算符
则
动量和波长的倒数成正比，动量平均值和波函数的梯度相关也印证了这一点。
动能
动能

其中 为动能算符
角动量


其中 为角动量算符
其三个分量为



其他的算符
Hamilton量 的算符

一般来讲，任何一个力学量A的均值都可以表示为