Question

∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE

∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点、求证∠MPN=60°。

Answer 1

证明：（1）AC中点为D,BC中点为G,连接MD、NG
M为CF中点,D为AC中点,所以MD为△ACF中位线
MD=AF/2,且MD∥AF,∠MDC=∠FAC=60
P为AB中点,D为AC中点,所以PD为△ABC中位线
PD=BC/2,且PD∥BC,∠PDC+∠ACB=180
∠PDC=60
∠MDP=∠MDC+∠PDC=120
N为CE中点,G为BC中点,所以NG为△BCE中位线
NG=BE/2,且NG∥BE,∠NGC=∠EBC=60
P为AB中点,G为BC中点,所以PG为△ABC中位线
PG=AC/2,且PG∥AC,∠PGC+∠ACB=180
∠PGC=60
∠PGN=∠PGC+∠NGC=120
因为AC=AF,所以MD=PG
因为BC=BE,所以PD=NG
且∠MDP=∠PGN=120
所以△MDP≌△PGN,PM=PN
（2）PG∥AC,PD∥BC
所以四边形CDPG为平行四边形,∠DPG=∠DCG=120
由△MDP≌△PGN可得,∠GPN=∠DMP
∠MPN=∠DPG-（∠DPM+∠GPN）=120-（∠DPM+∠DMP）
因为∠DPM+∠DMP=180-∠MDP=180-120=60
所以∠MPN=120-60=60

追问

G和D是哪来的

追答

取AC, BC中点 Q, R
证明三角形PQM, MCN, NRP全等就可以了
因为中点,中位线, 和等边三角形
PQM, MCN, NRP 已经有2对边相等了
再看夹角, 都是120度, 所以得证了

追问

看下题目好吗，我问的是证∠MPN=60°

Answer 2

取AC中点D,BC中点G,连接DM,DP,GN,GP

则DM=AF/2=AC/2=GP,DP=BC/2=BE/2=GN
且DM∥AF,∴∠MDC=∠FAC=60°

DP∥BC,∴∠CDP=∠ECB=60°
∴∠MDP=120°
同理∠PGN=120°,∴△MDP≌△PGN(SAS)
∴∠MPD=∠PNG
∴∠MPD+∠NPG=∠PNG+∠NPG=180°-∠PGN=60°
∵∠DPG=180°-∠CDP=120°,∴∠MPN=∠DPG-(∠MPD+∠NPG)=60°