Question

设抛物线的方程y^2=2px(p>0),过抛物线焦点的直线交抛物线于A（x1,y1）B(x2,y2)

(1)求证y1y2=-p^2 x1x2=p^2/4
(2)求弦长AB的最小值

Answer 1

（1）抛物线的焦点为（p/2，0），设直线方程为 x=my+p/2 ，
代入抛物线方程得 y^2=2p(my+p/2) ，
化简得 y^2-2pmy-p^2=0 ，
因为 y1、y2 是方程的两个根 ，
因此，由二次方程根与系数的关系可得 y1*y2= -p^2 ，
所以 x1*x2= y1^2/(2p)*y2^2/(2p)=(y1*y2)^2/(4p^2)=p^4/(4p^2)=p^2/4 。
（2）由于 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(m^2+1)*(y2-y1)^2=(m^2+1)*[(y1+y2)^2-4y1*y2]
=(m^2+1)*[(2pm)^2-4*(-p^2)]=4p^2*(m^2+1)^2 ，
因此，当 m=0 时，|AB| 最小 ，为 √(4p^2)=2p 。

Answer 2

1.设直线AB的斜率为k (a为直线AB的倾斜角)
当a=π/2时,AB垂直于x轴，x=p/2
得y=±p
所以A B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
y1*y2=-p^2,x1*x2=p^2/4
当a≠π/2
y^2=2px
焦点(p/2,0),准线x=-p/2
则直线AB：y=k(x-p/2)
抛物线：y^2=2px
联立
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2*p^2/4=0
则x1*x2=p^2/4
y1*y2=-p^2
2. 因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离
所以|AB|=|AF|+|B=x1+P/2+x2+P/2=x1+x2+P
(1)当a=π/2时,AB垂直于x轴
令x=p/2得y=±p
所以A B的坐标分别为(p/2,p),(p/2,-p)
所以弦长AB=2p

(2)当a≠π/2时,焦点弦AB的的斜率为k=tana
所以直线为y-0=k(x-p/2)
带入抛物线y^2=2px(p>0)得k^2(x-p/2)^2=2px
化简得k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=(k^2p+2p)/k^2, x1*x2=p^2/4
所以弦长|AB|=√(1+k^2)*|x1-x2|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=2(k^2+1)p/k^2=2p(tana^2+1)/tana^2 =2p/(sina)^2>=2p

即弦长AB的最小值是2p.