Question

设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3

（1）求f(0),f'(0)和f''(0)
(2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)

Answer 1

解：lim(x->0) (1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^ lim(x->0) 1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]

lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3

分母趋于0，故分子必趋于0，于是有

lim(x->0) [1+x+f(x)/x)]=1

得lim(x->0) f(x)/x=0

同样道理，分母趋于0，则分子必趋于0，于是有f(0)=0

lim(x->0) (1+f(x)/x)^(1/x)=e^ lim(x->0) ln[1+f(x)/x]/x 

=e^ lim(x->0) 1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2 

=e^ lim(x->0) f''(x)/2

=e^(4/2)

=e^2

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

Answer 2

解：(1) lim(x->0) (1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^ lim(x->0) 1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]
故有
lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3
分母趋于0，故分子必趋于0，于是有
lim(x->0) [1+x+f(x)/x)]=1
得
lim(x->0) f(x)/x=0
同样道理，分母趋于0，则分子必趋于0，于是有f(0)=0
利用罗比塔法则：
0=lim(x->0) f(x)/x=lim(x->0) f'(x)/1
得f'(0)=0
再利用罗比塔法则：
3=lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=lim(x->0) 1/[(1+x+f(x)/x)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1=
lim(x->0) 1/[(1+0+0)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1
故有
2=lim(x->0) [f'(x)*x-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=lim(x->0) [f''(x)*x+f'(x)-f'(x)]/(2x)
=lim(x->0) f''(x)*x/(2x)
=lim(x->0) f''(x)/2
故有f''(0)=4
(2)lim(x->0) (1+f(x)/x)^(1/x)=e^ lim(x->0) ln[1+f(x)/x]/x （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+0]*[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x) （x消掉）
=e^ lim(x->0) f''(x)/2
=e^(4/2)
=e^2
不明白请追问。

追问

我还没学洛必达法则

Answer 3

1).由于极限存在，故f(0)=0,且f(x)/x趋于0，否则极限为无穷大。这样：f'(0)=lim(f(x)-f(0)/x=0
(1+x+f(x)/x)^(1/x)=[(1+x+f(x)/x)^(1/(x+f(x)/x))]^[(x+f(x)/x)/x)]
底数(1+x+f(x)/x)^(1/(x+f(x)/x))趋于e,指数趋于3，
故：3=1+limf(x)/x^2
2=limf(x)/x^2=limf'(x)/2x, （注意：由柯西中值定理：limf(x)/x^2=limf'(x)/2x)
4=lim(f'(x)-f'(0))/x=f''(0)

2):由于极限存在，故f(0)=0,且f(x)/x趋于0，否则极限为无穷大。这样：f'(0)=lim(f(x)-f(0)/x=0
(1+f(x)/x)^(1/x)=[(1+f(x)/x)^(1/(f(x)/x))]^[(f(x)/x)/x)]
底数（1+f(x)/x)^(1/(f(x)/x)趋于e，
指数：limf(x)/x^2=limf'(x)/2x=lim(f'(x)-f'(0))/2x=f''(0)/2
所以：极限=e^(f''(0)/2)