Question

已知椭圆C经过A（1，3/2）。两个焦点为（-1，0），（1，0）

E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

此问还有没有其他解法？

Answer 1

不知道你的其他是指什么。。

常规解法是，由两个焦点和A，求出椭圆方程(a=2,c=1,b=√3)
设E(x1,y1),F(x2,y2)
则AE斜率为(y1-3/2)/(x1-1)
AF斜率为(y2-3/2)/(x2-1)

E，F都在椭圆上，分别把坐标带入方程，然后相减，得到(y1-y2)/(x1-x2)=-3(x1+x2)/4(y1+y2)
结合两个斜率互为相反数，得到定值

Answer 2

另一个通法是点斜式设AE斜率为k，AF斜率为-k。联立方程，得出xE=x1x2。将式子中的k换成1/k得xF。带入直线方程得yE、yF。kEF=（yE-yF）/(xE-XF)