Question

f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式的余项

书上写的它的余项是关于2m+1的，假设准确项取到2m-1，那么它的2m项就是sin[ξ+（2m+1）( π/2)]*x^(2m)/(2m!),即第2m项不是零，那么它的余项就应该是第2m项。为什么不是啊

Answer 1

书上的意思是当n=2m时的余项。即f(x)n+1阶可导，前n项是在x=0处的展开，后边是差值。

追问

那么对于奇数个数项的余数比如n=2m-1时，它的余项不应该是偶数项吗，可是按照这个公式第2m项被忽略了，直接跳到了2m+1项，这是为什么？

追答

一般不取偶数次的余项，原因是偶数阶导数在x=0出为0，如果取了余项则误差太大（近似得不好）。

追问

但是在2m处是sin[ξ+（2m+1）( π/2)]*x^(2m)/(2m!)，这个正弦值不是零了，如果删去不是会产生误差吗？而泰勒公式是准确无误差的啊

追答

我的意思不是说要删去这项，而是说我们这样做的目的。我们为什么要做泰勒级数？用多项式函数表示一个我们不熟悉的函数。所以越“精确”越好