Question

刘老师你好，矩阵A的转置乘以矩阵A，其秩会等于A吗？

我知道A的逆乘以A，所得矩阵的秩与A相等，A的逆可以看成多个初等矩阵，所以秩不变，但是转置这个也能这样认为吗？我看你的回答是A要满足实阵，是实对称阵吗？

Answer 1

A是实矩阵就可以
实矩阵是指A中元素都是实数
不一定是对称矩阵.

此时 r(A^TA) = r(A)
证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解.
A不一定是方阵, 不一定可逆

追问

如果换作A的伴随乘以A，在A可逆与不可逆的情况下，A的秩怎么考虑，若A可逆，等于A？不可逆则<min(A，A*）？成立吗？回答了给你加分哈老师

追答

什么意思? 不知道你问的什么.

追问

汗，
伴随矩阵秩r(A*)与r(A)的关系是怎么来的r(A*)与r(A)有三种关系。即r(A)=n===>r(A*)=n
r(A)=n-1===>r(A*)=1
r(A)r(A*)=0

追答

Answer 2

根据矩阵秩的定义结合行列式与转置行列式相等显然矩阵的秩与其转转置矩阵的秩相等