Question

z=kπ时 求fz=1/zsinz 在有限孤立奇点处的留数

Answer 1

根据这个定义sin(0)=0, sin'(z)|z=0=cos(z)|z=0=1不等于0，所以是1阶的0——对于z=k*pi都是这样的。

所以f(z)=1/zsin(z)这个函数在z=0时是2阶的奇点，在k*pi,k不为0时是1阶的奇点。

A、z=k*pi,k不为0时候

Res(f；k*pi)= (z-k*pi)/(z*sin(z)) 在z->k*pi时的极限，用洛必达法则。

Res(f；k*pi)=1/(k*pi*cos(kpi))，k是偶数时候留数是1/kpi，k是奇数时候留数是-1/kpi。

B、k=0时候奇点是2阶的

Res(f；0)=(z/sinz)'

在z=0时(z/sinz)'=0

扩展资料：

孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点，那么尽管这些极点本身可以洛朗展开，但它们的极限，即该聚点，不能进行洛朗展开。

自然边界： 任何非孤立点集（如：一条曲线），使得函数不能在它周围解析连续。（如果在黎曼球面上，则函数不能在它外面解析连续。）

实数中当某点看似 "趋近" 至 ±∞ 且未定义的点，即是一奇点x= 0。方程式g（x） = |x|（参见绝对值）亦含奇点x= 0（由于它并未在此点可微分）。同样的，在y=x有一奇点（0,0），因为此时此点含一垂直切线。 

一个代数集合在（x,y）维度系统定义为y= 1/x有一奇点（0,0），因为在此它不允许切线存在。

参考资料来源：百度百科--孤立奇点

Answer 2

首先有一个定义叫做zero of order n（n阶的0），比如x^2(x-1)(x+1)^3在x=0处就是2阶的0，在x=1处就是1阶的0，x=-1处是3阶的0，这个很好理解吧？如果是它的倒数1/[x^2(x-1)(x+1)^3]的话就成了pole of order n (n阶的奇点)。

然后我们来分析一下sin(z)在z=k*pi的时候分别是几阶的0。

关于zero of order n的准确定义如下：

A point z is called a zero of order m for the function f if f is analytic at z and f and its first m-1 dirivatives vanish at z, but its mth derivative at z is not 0.

也就是说如果z是函数f(x)里m阶的0，那么它的1阶2阶3阶...m-1阶导数在x=z的时候都是0，但是m次导数在x=z的时候不等于0。这个定义你可以用我第一段里的例子来验证，这个定义跟我第一段里的多项式的定义是等价的。

所以根据这个定义sin(0)=0, sin'(z)|z=0=cos(z)|z=0=1不等于0，所以是1阶的0——对于z=k*pi都是这样的。

所以f(z)=1/zsin(z)这个函数在z=0时是2阶的奇点，在k*pi,k不为0时是1阶的奇点。

根据留数的算法

A. z=k*pi,k不为0时候

Res(f;k*pi)= (z-k*pi)/(z*sin(z)) 在z->k*pi时的极限，用洛必达法则

Res(f;k*pi)=1/(k*pi*cos(kpi))，k是偶数时候留数是1/kpi，k是奇数时候留数是-1/kpi

B. k=0时候奇点是2阶的

Res(f;0)=(z/sinz)'

在z=0时(z/sinz)'=0