Question

利用四阶泰勒公式,求ln1.2的近似值,并估计误差

Answer 1

展开含有拉格朗日余项的泰勒公式：
ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+(1/5)[(1+ζ)^(-5)]x^5 ζ ∈（0，x)
ln(1+x)≈x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4 将x=0.2代入：
ln1.2≈0.1823
利用拉格朗日余项估算误差：
(1/5)[(1+ζ)^(-5)]x^5 ζ∈（0，0.2)
=0.2X0.00032X(1+ζ)^(-5)=0.000064(1+ζ)^(-5)<0.000064(1+0.2)^(-5)=0.000026
即误差最大不超过0.000026

查表可以知道ln1.2=0.182321……
近似值和估算误差完全准确！

以上答案仅供参考，如有疑问可继续追问！

Answer 2

按ln（1+x)的具有皮亚诺余项型的泰勒公式展开
四阶展开式ln(1+x)=x-2的阶乘分之一乘x的平方+3的阶乘分之一乘以x的立方-4的阶乘分之一乘以x的四次方+x四次方的等价无穷小
ln1.2即ln(1+0.2)，x=0.2带入上式即可