平行线的判定和性质
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平行线这个概念，想必大家在小学的时候就已经接触过一些：在一个平面内，两条直线不相交则为平行线，相交的话则为相交线，然而在小学时，我们将直线也只是理解为一个很直的线而已，自然也是没有过多的聚焦平行线，这种关系的概念也只在我们的脑海中一闪而过。然而，到了初中，数学变得更加精确，直线不再是一个很直的线，而是一个没有任何粗细大小，向两端无限延伸的线。如此，由直线引出的平行线，也注定不再像小学那样简单，没有讨论的价值了。
既然决定重拾平行线的概念，那要从哪方面探究呢？我想应该是从如何确定两条直线成平行线关系吧，虽然早就知道平行线的构成标准：在一个平面内，两条直线不相交。可是，如果给你看不知道有什么关系的两条直线的很小一部分，如何快速地判别出这两条直线到底是不是平行线呢？进行延长？但万一这两条直线虽说不是平行线，但和平行线相差不远，要延长几百几千米才能相交，这样判别岂不是太麻烦了？所以，我们迫切的需要一种能够快速判别平行线的方法。
可不可以就只利用这两条直线进行判断呢？用尺子盖住其中一条直线的一段，并将其向上平移，如果平移轨迹正好完全重合，似乎可以证明这两条直线成平行关系，可是这似乎会产生许许多多的误差，比如说在向上平移的过程中手抖了，那么可不就是测出了一个极其不精确的结果？如果不用尺子，又能怎样测量？这时候，可以引入另外一条直线，想交这两条直线，如此便形成了八个角：
如果这两条直线平行的话（直线A 和直线C ），贯穿这两条直线的直线X Y相交这两条线的进入角度其实是相等的，如此，如果直线A 和直线C 是平行线，那么在直线A 和直线C 上，都会出现四个角，且这四个角和另外一条直线的四个角中的对应角是相等的（如果直线A 和C 不是平行线，对应角也就因此不会相等，因为尽管直线X Y进入的角度相等，但两条直线本身角度不相等，也会因此造成角度误差）这幅图中的对应角，应该是角一和角三，角六和角八，角二和角四，角五和角七。据此我们可以得出结论，如果所有对应角中的一组角度相等，便可以证明两条直线成平行关系。
现在，我们已经可以快速地证明两条直线是不是成平行关系，只需要在这两条直线中画一个相交两条直线的直线了，并观察所形成的对应角中的角度是否相等便可以了。然而探究完这个问题后，又一个问题冒了出来，从这两条直线平行的结论中，我们又可以发现怎样的性质呢？
既然判别两条直线是否为平行线使用了另外一条直线，那么发现性质的时候那条直线和它所产生的八个角一定不能落下啊！因为那八个角最有可能产生神奇的性质了。
当直线A 和直线C 成平行关系的时候，会产生八个对应角，每个对应角分别有着一个在另一条直线上产生的度数一样的对应角，而且这两个对应角一般要么全部出现在穿透过来的直线的右侧，要么全部出现在穿透过来的直线的左侧，就叫其同位角吧，如果两条直线平行A，C平行，相对的同位角之间似乎总是相等的，然而，这个猜想到底怎样证明呢？好像不能证明啊？任何证明过程都需要有一个基点，但是在此之前没有任何基点可以推理出这条性质啊？其实，同位角相等这个猜想是数学定理中的公理，无法证明也不正自明，可是，随随便便一个公理总归来说不能让人信服，毕竟没有严谨的逻辑推理过程，为此，必须结合真正的图形进行模拟尝试，以基本确定公里的准确性。在进行几何变换之后，我们发现，在所有模拟中同位角都相等，也由此确定了提出的公理的可靠性，并得出了第一条性质：当两条直线被另外一条直线所截，同位角相等，则两条直线平行。用符号语言就是；因为：同位角相等。
所以：两条直线平行。
有两个角，同时在直线Y的左边或右边，且都在直线A和直线C之内，可以形象地称其为同旁内角，经过几组数据的观察，我发现似乎同旁内角的度数之和永远等于180度，不过这只是猜想，我们需要用严谨的推理证明来证明这一点，有了同位角相等这条公理，是推理同旁内角之和等于180度成为可能。
已知：同旁内角角6+角3=180度。
求证：直线A B和直线C D平行
证明： 因为：角6+角3=角6+角1=180度。（已知）
所以：角3=角1（等量代换）
所以：直线A B和直线C D平行（同位角相等两直线平行）
根据推理证明，我们验证了同旁内角相加之和等于180度，也就由此确定了第二个判定平行线性质：两条直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于180度，则两条直线平行。
符号语言则是：因为：同旁内角相加之和等于180度。
所以：两条直线平行。
回过头来一看，我似乎看出两个对应角并非全部和相对角那样，要么全部出现在穿透直线的左侧，要么全部出现在右侧。比如说上图中的角三和角五，角七和角一，却似乎都是度数相等的对应角，却不符合以上的性质，那么我们可能又要发明出一个新的性质了：角三和角五两个角，一个出现在穿透线的左侧，另一个在右侧，而它们同时又在直线A B和C D之间出现，就叫其内错角吧。而角七和角一，其他性质和角三，五一样，但出现在直线A B和C D之外，就叫其外错角吧。由此我们可以得到两个性质：内错角相等，外错角相等。不过，这些只是猜想，我们仍然需要通过推理证明证明刚刚所猜想出的性质：内错角和外错角本质上差不多，不然我们单单验证内错角是否相等吧。
已知：同位角相等，角5=角3
求证：两条直线平行
证明： 因为： 角5=角1（通过相交直线研究出来的定理：对顶角相等），角5=角3（已知）
所以：角1=角3（等量代换）
所以：两直线平行（同位角相等，两直线平行）
通过推理证明，我们成功地证实了内错角相等的这个性质，找到了第三四个性质：两条直线被另外一条直线所截，内错角或者外错角相等，则两条直线平行。
符号语言则是：因为：外错角或内错角相等。
所以：两条直线平行。
这样我们便发现了平行线的四个判定方法，相对角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角之和等于180度，如果两条直线所形成的八个角符合这几个性质中的一种性质，那么这两条直线便铁定是平行直线。
通过这次探索，我们探清了平行线的判定方法，那么，平行线又有哪些性质呢？可能也和三线八角有关，既然同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，那么我们可不可以由此倒推，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，那么，不就顺利地得知了平行线的性质了吗？可是，这种方法似乎并不行啊，就好比我们不能因为姚明是男人这个结论推出男人是姚明，不能说这只狗是泰迪犬就说泰迪犬是这只狗，我们也不能因为同位角相等两直线平行，推断出两直线平行同位角相等，因为这样很容易产生许多歧义，并且也会产生逻辑漏洞。看来，虽然平行线的性质有可能和平行线的判定区别不大，是：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补。却仍然需要一步步的推理证明了。
当然，推理证明需要一个起点，这个起点便是不正自明的公理，在平行线的判定里，我们说同位角相等，两直线平行是公理，那么不妨也将两直线平行，同位角相等作为公理，作为一个推理的基点。通过几何变化来着让这条公理变得更加可信，由此，我们得到了第一条性质，也就是平行线性质定理一：两直线平行，同位角相等。
那么开始证明我们的两直线平行，内错角相等：
已知：AB平行CD
求证：角5=角3
证明：因为：AB平行CD
所以：角1=角3
因为：角1=角5（对顶角相等）
所以：角5=角3（等量代换）
经过证明，我们成功地得到了平行线性质定理二：两直线平行，内错角相等，符号语言是；因为：AB平行CD，所以：角5=角3。
接下来是同旁内角互补的证明：
已知：AB平行CD
求证：角6+角3=180度
证明：因为：角1=角3
角1+角6=180度
所以：角3+角6=180度（同一个角的补角相等）
现在，我们已经成功地证明了平行线的性质，这个性质其实是和平行线的判定大致相同的，那就是：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，现在，无论是判定平行线还是利用平行线，我们都可以应对自如了。
既然决定重拾平行线的概念，那要从哪方面探究呢？我想应该是从如何确定两条直线成平行线关系吧，虽然早就知道平行线的构成标准：在一个平面内，两条直线不相交。可是，如果给你看不知道有什么关系的两条直线的很小一部分，如何快速地判别出这两条直线到底是不是平行线呢？进行延长？但万一这两条直线虽说不是平行线，但和平行线相差不远，要延长几百几千米才能相交，这样判别岂不是太麻烦了？所以，我们迫切的需要一种能够快速判别平行线的方法。
可不可以就只利用这两条直线进行判断呢？用尺子盖住其中一条直线的一段，并将其向上平移，如果平移轨迹正好完全重合，似乎可以证明这两条直线成平行关系，可是这似乎会产生许许多多的误差，比如说在向上平移的过程中手抖了，那么可不就是测出了一个极其不精确的结果？如果不用尺子，又能怎样测量？这时候，可以引入另外一条直线，想交这两条直线，如此便形成了八个角：
如果这两条直线平行的话（直线A 和直线C ），贯穿这两条直线的直线X Y相交这两条线的进入角度其实是相等的，如此，如果直线A 和直线C 是平行线，那么在直线A 和直线C 上，都会出现四个角，且这四个角和另外一条直线的四个角中的对应角是相等的（如果直线A 和C 不是平行线，对应角也就因此不会相等，因为尽管直线X Y进入的角度相等，但两条直线本身角度不相等，也会因此造成角度误差）这幅图中的对应角，应该是角一和角三，角六和角八，角二和角四，角五和角七。据此我们可以得出结论，如果所有对应角中的一组角度相等，便可以证明两条直线成平行关系。
现在，我们已经可以快速地证明两条直线是不是成平行关系，只需要在这两条直线中画一个相交两条直线的直线了，并观察所形成的对应角中的角度是否相等便可以了。然而探究完这个问题后，又一个问题冒了出来，从这两条直线平行的结论中，我们又可以发现怎样的性质呢？
既然判别两条直线是否为平行线使用了另外一条直线，那么发现性质的时候那条直线和它所产生的八个角一定不能落下啊！因为那八个角最有可能产生神奇的性质了。
当直线A 和直线C 成平行关系的时候，会产生八个对应角，每个对应角分别有着一个在另一条直线上产生的度数一样的对应角，而且这两个对应角一般要么全部出现在穿透过来的直线的右侧，要么全部出现在穿透过来的直线的左侧，就叫其同位角吧，如果两条直线平行A，C平行，相对的同位角之间似乎总是相等的，然而，这个猜想到底怎样证明呢？好像不能证明啊？任何证明过程都需要有一个基点，但是在此之前没有任何基点可以推理出这条性质啊？其实，同位角相等这个猜想是数学定理中的公理，无法证明也不正自明，可是，随随便便一个公理总归来说不能让人信服，毕竟没有严谨的逻辑推理过程，为此，必须结合真正的图形进行模拟尝试，以基本确定公里的准确性。在进行几何变换之后，我们发现，在所有模拟中同位角都相等，也由此确定了提出的公理的可靠性，并得出了第一条性质：当两条直线被另外一条直线所截，同位角相等，则两条直线平行。用符号语言就是；因为：同位角相等。
所以：两条直线平行。
有两个角，同时在直线Y的左边或右边，且都在直线A和直线C之内，可以形象地称其为同旁内角，经过几组数据的观察，我发现似乎同旁内角的度数之和永远等于180度，不过这只是猜想，我们需要用严谨的推理证明来证明这一点，有了同位角相等这条公理，是推理同旁内角之和等于180度成为可能。
已知：同旁内角角6+角3=180度。
求证：直线A B和直线C D平行
证明： 因为：角6+角3=角6+角1=180度。（已知）
所以：角3=角1（等量代换）
所以：直线A B和直线C D平行（同位角相等两直线平行）
根据推理证明，我们验证了同旁内角相加之和等于180度，也就由此确定了第二个判定平行线性质：两条直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于180度，则两条直线平行。
符号语言则是：因为：同旁内角相加之和等于180度。
所以：两条直线平行。
回过头来一看，我似乎看出两个对应角并非全部和相对角那样，要么全部出现在穿透直线的左侧，要么全部出现在右侧。比如说上图中的角三和角五，角七和角一，却似乎都是度数相等的对应角，却不符合以上的性质，那么我们可能又要发明出一个新的性质了：角三和角五两个角，一个出现在穿透线的左侧，另一个在右侧，而它们同时又在直线A B和C D之间出现，就叫其内错角吧。而角七和角一，其他性质和角三，五一样，但出现在直线A B和C D之外，就叫其外错角吧。由此我们可以得到两个性质：内错角相等，外错角相等。不过，这些只是猜想，我们仍然需要通过推理证明证明刚刚所猜想出的性质：内错角和外错角本质上差不多，不然我们单单验证内错角是否相等吧。
已知：同位角相等，角5=角3
求证：两条直线平行
证明： 因为： 角5=角1（通过相交直线研究出来的定理：对顶角相等），角5=角3（已知）
所以：角1=角3（等量代换）
所以：两直线平行（同位角相等，两直线平行）
通过推理证明，我们成功地证实了内错角相等的这个性质，找到了第三四个性质：两条直线被另外一条直线所截，内错角或者外错角相等，则两条直线平行。
符号语言则是：因为：外错角或内错角相等。
所以：两条直线平行。
这样我们便发现了平行线的四个判定方法，相对角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角之和等于180度，如果两条直线所形成的八个角符合这几个性质中的一种性质，那么这两条直线便铁定是平行直线。
通过这次探索，我们探清了平行线的判定方法，那么，平行线又有哪些性质呢？可能也和三线八角有关，既然同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，那么我们可不可以由此倒推，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，那么，不就顺利地得知了平行线的性质了吗？可是，这种方法似乎并不行啊，就好比我们不能因为姚明是男人这个结论推出男人是姚明，不能说这只狗是泰迪犬就说泰迪犬是这只狗，我们也不能因为同位角相等两直线平行，推断出两直线平行同位角相等，因为这样很容易产生许多歧义，并且也会产生逻辑漏洞。看来，虽然平行线的性质有可能和平行线的判定区别不大，是：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补。却仍然需要一步步的推理证明了。
当然，推理证明需要一个起点，这个起点便是不正自明的公理，在平行线的判定里，我们说同位角相等，两直线平行是公理，那么不妨也将两直线平行，同位角相等作为公理，作为一个推理的基点。通过几何变化来着让这条公理变得更加可信，由此，我们得到了第一条性质，也就是平行线性质定理一：两直线平行，同位角相等。
那么开始证明我们的两直线平行，内错角相等：
已知：AB平行CD
求证：角5=角3
证明：因为：AB平行CD
所以：角1=角3
因为：角1=角5（对顶角相等）
所以：角5=角3（等量代换）
经过证明，我们成功地得到了平行线性质定理二：两直线平行，内错角相等，符号语言是；因为：AB平行CD，所以：角5=角3。
接下来是同旁内角互补的证明：
已知：AB平行CD
求证：角6+角3=180度
证明：因为：角1=角3
角1+角6=180度
所以：角3+角6=180度（同一个角的补角相等）
现在，我们已经成功地证明了平行线的性质，这个性质其实是和平行线的判定大致相同的，那就是：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，现在，无论是判定平行线还是利用平行线，我们都可以应对自如了。
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