Question

轨迹方程求解方法

Answer 1

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。

使用情景：可以直接列出等量关系式
解题步骤：

第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）
第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

例1 已知定点 , 且 ，如果动点 到点 的距离与到点 的距离之比为定值，求点 的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。
【解析】

以 的中点 为原点， 所在直线为 ， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则

， ，设动点

依题意得 ，即

化简整理得 ，此为点 的轨迹方程

当 时，方程可化为 ，

即

当 时，方程为 。

所以当 时，方程为 ，点 的轨迹是 轴；

当 时，点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆。
【总结】题目中无直角坐标系时，要根据条件建立适当的坐标系使所涉及的点的坐标尽量简单，这样有利于方程的化简。一般选取题设中的定直线为坐标轴，定点在坐标轴上。

使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义
解题步骤：

第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）
第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。

例2、已知椭圆的焦点是 ， ， 是椭圆上的一个动点，如果延长 到 ，使得 那么动点 的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线
【解析】

由 ， ，得 ，即点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆

例3、已知定点 和动点 ， 为 的中点， 为坐标原点，且满足 ．求点 的轨迹方程；
【答案】
解析：取 连接 ，

，

由双曲线定义知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支

， ，

，，

点 的轨迹方程为： .

使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动
解题步骤：

第一步 判断动点 随着已知曲线上的一个动点 的运动而运动
第二步 求出关系式
第三步 将 点的坐标表达式代入已知曲线方程

例4 定点 为圆 外一定点， 为圆上任一点， 的平分线交 于点 的轨迹方程。
【答案】轨迹方程为 和

【解析】设 ， ，由于 平分 ，则

，则 解得

代入 ，得 ，即 ①

由于 还有两种情况可能对轨迹有影响，

当 与 重合时， 与 也重合，此时 点位于 ，已包括在上述轨迹中；

当 与 重合时， 退化为 角，此时 点的轨迹方程为 ，且点 也满足方程①

综上所述，轨迹方程为 和 .

【总结】利用相关点法求轨迹方程，其关键是寻找所求的动点与已知曲线上的动点之间的关系。在本题中是借助线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间的关系。

例5、如图，梯形 的底边 在 轴上，原点 为 的中点， ， ， ， 为 的中点．

（Ⅰ）求点 的轨迹方程；
（Ⅱ）过 作 的垂线，垂足为 ，若存在正常数 ，使 ，且 点到 、 的距离和为定值，求点 的轨迹 的方程；
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） ， ．
【解析】

（Ⅰ）设点 的坐标为 ，则 ，

又 ， ，

由 有 ，即

（Ⅱ）设 ，则 ，代入 的轨迹方程有

即 ，

的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）

要 到 ， 的距离之和为定值，则以 ， 为焦点，故

，从而所求 的轨迹方程为 .

使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时
解题步骤：

第一步 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；
第二步 消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。

例6、已知线段 的长为 ， 点分 为 两部分，当 在 轴正半轴运动时， 在 轴正半轴上运动，求动点 的轨迹方程。
【答案】

【解析】设动点 ， 和 轴的夹角为 ， ，

作 轴于 ， 轴于

，

，

动点 的参数方程为 （ 为参数）

消去 ，有 ，

即 .

【总结】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、 参数、 参数和点参数等。

使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题
解题步骤：

第一步 解两曲线方程组得到
第二步 消去动曲线中的参数。

例7、已知双曲线 的左右顶点分别为 ， ，点 ， 是双曲线上不同的两个动点，求直线 与 交点的轨迹 的方程。
【答案】 且 。

【解析】

由题设知 ， ， ，则有

直线 的方程为 ……①

直线 的方程为 ……②

设点 是 与 交点，①×②得

……③

又点 在双曲线上，因此 ，即 。

代入③整理得 .

因为点 ， 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 ， 均不重合，故点 和 均不在轨迹 上。

故轨迹 不经过点 ，

综上，轨迹 的方程为 且 。

【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出 点的两个坐标间的关系即可。