Question

试证 对于任何实数a,b，成立不等式|a+b|/(1+|a+b|)<=|a|/(1+|a| )+|b|/(1+|b|)

Answer 1

您好！

构造函数f(x)=x/(1+x)
显然在[0,+∞)上这是一个增函数。
对于正数a，b
|a-b|<|a+b|
故|a-b|/(1+|a-b|)<|a+b|/(1+|a+b|)
所以只需证明a，b都是正数的情况。（a、b都是负数是一样的，因为有绝对值）

a，b都是正数，就可以去掉绝对值
相当于要证(a+b)/(1+a+b)≤a/(1+a)+b/(1+b)
右边通分，等价于证(a+b)/(1+a+b)≤(a+b+2ab)/(1+a+b+ab)
移项，等价于证(1+a+b+ab)/(1+a+b)≤(a+b+2ab)/(a+b)
分离整数部分，等价于证1+ab/(1+a+b)≤1+2ab/(a+b)
等价于证1/(1+a+b)≤2/(a+b)
等价于证a+b≤2+2a+2b
上式是显然的。证毕

如果认为讲解不够清楚，请追问。如果满意，请采纳，谢谢！
祝：学习进步！