Question

在△ABC中AB²＝20，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为以AB为腰的等腰直角三角形，

在△ABC中AB²＝20，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为以AB为腰的等腰直角三角形，求线段CD的平方 答题思路是啥

Answer 1

• 根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

• 解：∵AC=4，BC=2，AB=2√5

∴AC^2+BC^2=AB^2，

∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．

分三种情况：

（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，

易求CD=2√10；

（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，

易求CD=2√13；

（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．

∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠EBD+∠DAF=90°，

∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠DBE=∠ADF，

∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，

∴△AFD≌△DEB，易求CD=3√2 

Answer 2

思路：
先验证△ABC为直角三角形
则∠ABC的三角函数值均可得到
根据△ABD的做法，∠ABD=90°
△DBC中，∠DBC=90°+∠ABC，其余弦值可求。
BD=AB=√20，BC=2
根据余弦定理可求出CD^2

追问

有几种情况

追答

两种情况，另一种是∠BAD=90°，同样的做法可求出CD^2

Answer 3

解题思路：由已知得Rt△ABC中，AB为斜边，tan ∠ABC=2。而且Rt△ABD中，
（1）∠ABD=Rt∠=90°，AB=BD=√20，∠CBD=∠ABC+∠ABD，△CBD中，根据余
弦定理，即可求出CD² [cos ∠CBD=（BC²+BD²-CD²）/(2BC×BD)]。
算得 结果为 CD²=40。
（2））∠BAD=Rt∠=90°，同理可求。