Question

判断级数的级数的敛散性，并求收敛级数的和

求过程

Answer 1

　　先判断这是正项级数还是交错级数
　　一、判定正项级数的敛散性
　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则
　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则
　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则
　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.
　　二、判定交错级数的敛散性
　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.
　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.
　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散.
　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.
　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.
　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径.
　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和
　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和.
　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.
　　五、将函数展开为傅里叶级数
　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.

Answer 2

解：
此题可转化为幂级数求解
构造幂级数∑n=1→ ∞2（-1）^(n+1)*e^(n+2）*x^n
求得 ρ=limn→∞|Un+1/Un|=e，所以R=1/e
所以幂级数在（-1/e,1/e)收敛
x=1/3在该收敛区间
所以上题级数收敛
级数和为0（可按等比数列求和）

追问

答案写的和为2e^3/（3+e）啊

追答

不好意思，计算错误。
就是分开计算两个等比数列：首项分别为(e/3)^1，-(e/3)^2公比为(e/3)^2

追问

哦谢谢

请问这个判断等比数列的时候

打错了，判断绝对收敛和条件收敛的时候，这要加绝对值吗

里面不含x是不是就不用写绝对值啊

追答

　　在幂级数求 ρ时，里面不含x但要加绝对值。
　　而用比值法判断级数敛散性的前提条件是级数为正项级数，故不必加绝对值。

追问

哦 谢谢

那绝对收敛是只针对幂级数吗？正向级数分不分绝对收敛和条件收敛？比如这道题需不需要判断是否为条件收敛

追答

那个绝对收敛和条件收敛主要用在交错级数。
即级数项有正有负的情况。
若判断出级数加绝对值收敛，则原级数绝对收敛。
若判断出级数加绝对值发散，原级数收敛，则原级数条件收敛。

追问

哦。。那这个题需要判断绝对收敛吗

追答

　　你提醒我了，这个题是交错级数，应该就是根据绝对收敛与条件收敛的知识做的。我上面给的方法可以是另解。用绝对收敛与条件收敛会简便一些。