Question

数学定积分的一道题

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Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

F'(x)=∫[0,x] f(t)dt+xf(x)-2xf(x)
=∫[0,x] f(t)dt-xf(x)
由于f(x)是奇函数
因此xf(x)是偶函数，∫[0,x] f(t)dt也是偶函数
所以F'(x)是偶函数
即F(x)是奇函数

Answer 3

追问

F(X)两边同时求导后 通过判断F'(X)的奇偶性能判断F(X)吗

追答

可以。但些题导完之后还是要用定义去判断。

追问

函数是奇(偶)函数,导函数是偶(奇)函数
导函数是奇(偶)函数,函数是偶(不一定是奇)函数
这是我在网上找的 这个说的对不对啊，那这题就算判断出来F'(X)为偶了 也没法判断F（x）为奇函数吗

追答

对的。

Answer 4

F(x)=∫[x,0](x-2t)f(t)dt
=x∫[x,0]f(t)dt-2∫[x,0]tf(t)dt
F(-x)=(-x)∫[-x,0]f(t)dt-2∫[-x,0]tf(t)dt
z=-t,
=-x∫[x,0]f(-z)d(-z) -2∫[x,0] (-z)f(-z)d(-z)
=-x∫[x,0]f(z)dz +2∫[x,0]zf(z)dz
F(x)=-F(-x)
奇函数

追答

作答不容易，求采纳

Answer 5

F(x)= ∫(0->x) (x-2t)f(t) dt
F(-x) =∫(0->-x) (-x-2t) f(t) dt
let
t= -y
dt = -dy
t=0, y=0
t=-x, y=x

F(-x) =∫(0->-x) (-x-2t) f(t) dt
=∫(0->x) (-x+2y)f(-y) (-dy)
=-∫(0->x)(x-2y) f(y) dy
=-∫(0->x)(x-2t) f(t) dt
=-F(x)
=>F is odd function