Question

设F1、F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,求PF1乘PF2的最大值（非向量）

Answer 1

椭圆x^2/4+y^2=1中
a²=4,b²=2,c=√(a²-b²)=√2
P是该椭圆上的一个动点
根据定义得：
|PF1|+|PF2|=2a=4
∴|PF1|乘|PF2|≤[(|PF1|+|PF2|)/2]²=4
当且仅当|PF1|=|PF2|=a时取等号
∴PF1乘PF2的最大值为4

不明白请追问

追问

∴|PF1|乘|PF2|≤[(|PF1|+|PF2|)/2]²=4 是怎么来的啊？

追答

均值定理：
a,b>0则ab≤[(a+b)/2]²
当且仅当a=b时，取等号

a=|PF1|,b=|PF2|

Answer 2

因为 a^2=4 ，b^2=1 ，所以 c^2=a^2-b^2=3 ，
则 a=2 ，b=1 ，c=√3 ，离心率 e=c/a=√3/2 。
设 P（x，y），则由焦半径公式可得 |PF1|=a+ex=2+√3/2*x ，|PF2|=a-ex=2-√3/2*x ，
因此 |PF1|*|PF2|=(2+√3/2*x)(2-√3/2*x)=4-3/4*x^2 ，
由 0<=x^2<=a^2=4 得 |PF1|*|PF2| 的最大值为 4-0=4 。

追问

为什么 0<=x^2<=a^2啊？
不是-a<=X<=a么？

追答

这不一样么？