Question

高二数学选修2-1，常用逻辑用语。

写出命题：不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ 的逆否命题。
并判断其真假，并说明理由。
详细点，谢谢了～

Answer 1

只有形如“如果……则……”的命题才有逆否命题。例如像“1=1”，“x+1=2有解”，“今天是星期三并且明天是星期四”这种命题就没有逆否命题。
因此如果将原命题的表述理解为“cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ没有无穷多组解”，则该命题没有逆否命题。
但有时也可根据题意将某些不是“如果……则……”的命题化成“如果……则……”的形式。
原命题实际上是说，“若α和β的取值满足方程cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ ，那么α和β不可能有无穷多种取值方式”。
因此其逆否为“若α和β可以进行无穷多种取值，则α和β的这些取值不能都满足方程cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ ”。
这样两个命题真值就相同了。

追问

可原命题是假命题，而逆否命题成了真命题呀

追答

为什么逆否会是真命题呢？例如α=0，β为任意实数，β每取一个实数就构成α和β的一种取值，这样α和β可以进行无穷多种取值，并且这些取值都满足方程cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

追问

你说的这个是原命题啊，我说逆否命题

追答

原命题是：若α和β的取值满足方程cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ ，那么α和β不可能有无穷多种取值方式
它的逆否命题是：若α和β可以进行无穷多种取值，则α和β的这些取值不能都满足方程cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
两个都是假命题。

Answer 2

原命题公式错的呢吧，应该后面是个减号

追问

题就是这样出的，原题只让判断那个命题的真假，可我判断出来是假命题，而我觉得它的逆否命题是真命题，所以很纠结，拿出来问问。