Question

计算曲面积分∫∫x2y2zdxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=1的上半平面的上侧.(2是指平方，∫∫下面有个∑）

要详细解答

Answer 1

利用高斯公式 

I＝∫∫∫x^2*y^2dV(积分区间为半球体)-∫∫0dxdy(次曲面积分向下,z=0) 

＝∫∫∫x^2*y^2dV 

＝(利用轮换性3x^2=x^2+y^2+z^2,3y^2=x^2+y^2+z^2) 

＝2/9∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV 

＝2/9∫∫∫r^2dV（用球体坐标计算） 

＝2/9*∫sinφdφ∫dθ∫r^3dr(0≤r≤1，0≤θ≤2π,0≤φ≤π/2) 

＝2/9*1*2π*1/4 

＝π/9

算法由来

高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。

全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数。后来人们把这种简便算法称作高斯算法。

Answer 2

欢迎采纳，不要点错答案哦╮(╯◇╰)╭

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

补充3个平面
x＝0，y＝0，z＝0
构成封闭曲面
利用高斯公式化为三重积分

计算xy在1/8单位球上的三重积分
结果应该是1/15