高数题!可降阶的高阶微分方程 y''+(y')^2=1 ;y(0)=0 ;y'(0)=0特解.

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世纪网络17
2022-06-08 · TA获得超过5896个赞
知道小有建树答主
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令y'=p,则y"=pdp/dy
代入方程得:pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(-p^2)/(1-p^2)=-2dy
积分:ln|1-p^2|=-2y+C1
即1-p^2=Ce^(-2y)
代入y(0)=0,p(0)=0,得:C=1
故p^2=1-e^(-2y)
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
记t=√(1-e^(-2y)),则y=-0.5ln(1-t^2),dy=t/(1-t^2)dt
上式化为:
dt/(1-t^2)=±dx
dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx
积分:ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2
(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)
x=0时,y=0,t=0,代入得:C=1
故有:[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y)) ]=e^(±2x)
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