Question

若不等式| x -3|+| x -4|＜ a 的解集不是空集 求实数 a 的取值范围.

Answer 1

解析:方法一:将数轴分为(-∞ 3) ［3 4］ (4 +∞)三个区间.

当 x ＜3时 得(3- x )+(4- x )＜ a 即 x ＞ 有解条件为 ＜3 即 a ＞1；

当3≤ x ≤4时 得(3- x )+(4- x )＜ a 即 a ＞1；

当 x ＞4时 得( x -3)+( x -4)＜ a 即 x ＜ 有解条件为 ＞4 即 a ＞1.

因此上述三种情况 任一个成立 即可满足题意 故 a 的范围应是它们的并集 即 a ＞1.

方法二:设数 x 、3、4在数轴上对应点分别为 P 、A、B

由绝对值的几何意义 原不等式即求| P A|+| P B|＜ a 何时成立.

因为|AB|=1 故数轴上任一点到A、B距离之和均大于等于1 即| x -3|+| x -4|≥1 故当 a ＞1时 原不等式解集不是空集.