Question

高数 微分方程的通解 的题目 请指教一下方法

这个是题目 然后部分答案是

就是想知道 这个红框的当中 黄色部分 根据题意不是有需要对这个所设的式子进行1、 2次求导 然后分别代入 原式吗 这样的话我觉得最笨的办法求实在太。。 而且花费时间 考试的时候肯定不行 有没有什么简便 的方法 求出这个所设的式子 亲详解 谢谢了

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Answer 1

首先考虑线性方程y''-2y'+5y=0的解
其特征方程r^2-2r+5=0
可求出r1,2=1±2i
所以线性方程的解为y=e^x * (ucos2x+vsin2x) (1表现在e^(1x),2则表现在cos2x和sin2x,x前的系数)
再考虑非其次方程的解
由于e^x *cos2x 中(e^(1x) * cos2x (有1,2)),于是1+2i是单根
所以特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) (特解是在通解的基础上乘以x^n,
当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式
当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2)
直接得出答案即可(因为这些在教材上已经证明,考试的话只会让你应用,而不考为什么)

追问

到特解y*=xe^x * (ucos2x+vsin2x) 我是知道的 就是 这个后面 你说是

(特解是在通解的基础上乘以x^n,
当非其次的f(x)的λ不是特征方程的根时,n=0,也就是特解和通解是同一个形式
当λ是特征方程的单根时,n=1,重根的话,n=2)

我是想说 所有的常微分方程都是 这样的的吗 还是 有类型的 我没有教材 帮个忙吧 谢谢

追答

嗯,所有的都是这样,f(x)不是特征方程的根时,n=0,单根n=1,重根n=2
推荐同济大学第六版,网上应该有这种书,另外想更深入研究的话
可以选择看看,等

Answer 2

想哥当年是积分高手啊，一般的积分都是只动的笔，但现在遗憾的是，这题目我还真不会，全还给老师了，哎。。