Question

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0<f(x)<1

(1)求证f(0)=1,且当x<0时，f(x)>1
(2)求证f(x)在R上单调递减
(3)若F(1)=1/2,试解不等式F(a^x)/F(4-a^2x) >1/4

Answer 1

（1）、令m=0,n=1,代入等式得f(0+1)=f(0)*f(1),即f(1)=f(0)*f(1),
由已知可得f(1)>0,所以上式两边同除以f(1)可得：f(0)=1
当y<0时,则-y>0,所以0<f(-y)<1，所以1/f(-y)>1
则有f(-y)*f(y) =f(-y+y)=f(0) =1,
所以当y<0时，f(y)=1/f(-y)>1
（2）由（1）对任意x∈R，f(x)>0，
对任意x>y，有x-y>0，f(x)>0，f(y)>0，
又f(x)/ f(y)= f(x)* f(-y)= f(x-y)
所以0< f(x)/ f(y) <1，又f(y)>0，
所以f(x) < f(y)，
所以f(x)在R上单调递减。
（3）F(a^x)/F(4-a^2x) = F(a^x)*F(a^2x -4)= F(a^x+a^2x -4)
又f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)= 1/2*1/2=1/4，
所以F(a^x)/F(4-a^2x) >1/4可变形为F(a^x+a^2x -4) > f(2)
因为f(x)在R上单调递减，所以a^x+a^2x -4 <2，即（a^x）^2+a^x -6<0，
（a^x +3）（a^x -2）<0，所以-3a^x <2，
因为a^x>0，所以0< a^x <2
当0<a <1时，x>㏒a(2)（以a为底2的对数，下同）,
当1<a 时，x<㏒a(2)。

Answer 2

in fact, f(x)=f(1)^x is exponential function.
first to show f(n)=f(1)^n for any integer n.
next f(1/m)=f(1)^{1/m} where m is integer.
then for any rational number n/m>0,
f(n/m)=f(1)^{n/m}.
Since the set of rationall number is dense in real line, for any real number x>0, we have
f(x)=f(1)^x.
for x<0, f(x-x)=f(0)=1=f(x)*f(-x) this implies that f(x)=f(-x)^{-1}=f(1)^{-x*-1}=f(1)^x;
So for any real number x, f(x)=f(1)^x
According the condition x>0, f(x)<1, we have 0<f(1)^x<1 which implies 0<f(1)<1.

Answer 3

这一看就是Y=a的x次方函数，其中a是大于0小于1的嘛。

Answer 4

d